Des dimensions étourdissantes

Je me rappelle mes premiers cours de géométrie. Ça commençait par la notion de dimension. Un seul point, minuscule, aucune dimension puisqu’il ne s’étire dans aucune direction. Puis de fut une ligne, une dimension. Ensuite un carré, deux dimensions. Et finalement un cube, trois dimensions. J’avais rapidement saisi le concept. Ce n’était pas très compliqué, c’était logique. Plus tard, j’ai appris qu’on pouvait dessiner des dimensions supérieures à trois. Il suffisait de faire la même chose que lorsqu’on déplie un cube pour le regarder étalé sur une table. Ça réduit le cube de dimension 3 à un étalement, souvent dessiné en croix, de six carrés de dimension 2, donc sur un seul et même plan.

Il est donc possible de dessiner en trois dimensions un cube de dimension 4, un hypercube, en le dépliant sous forme de 6 cubes souvent également étalés en forme de croix. Une peinture intitulée « Corpus Hypercubus » de Salvador Dalí montre ce dépliement que vous voyez au sommet de cet article. Ensuite, voir clairement 5 dimensions ou plus, le truc de dépliement ne fonctionne plus vraiment, mais ce n’est pas une raison pour penser que ça n’existe pas. En mathématique, 12 variables créent un objet à 12 dimensions. Ça ne se visualise pas, mais ça se comprend et ça se calcule quand même.

J’avais pensé, innocemment, que l’histoire des dimensions était terminée. 3, 5 ou 11 dimensions, j’avais compris le principe. Cependant, l’histoire autour des dimensions ne se termine pas ainsi.

Si je prends un cube de métal de 2 cm de côté, son volume est de 8cm3. Facile. Mais si je prends une éponge, un pain de sucre ou un morceau d’emmenthal aux mêmes proportions, est-ce que son volume est aussi 8 cm3 ? On comprend que ces cubes possèdent des vides et que, même si leurs volumes externes sont semblables au cube métallique, il leur manque de la matière pour équivaloir à la même quantité de matière que le cube de métal.

Et c’est là l’idée formidable qu’a eue Benoît Mandelbrot de donner aux cubes non pleins une valeur de dimension inférieure à 3, mais évidemment supérieure à 2 qui n’est qu’une surface plane. Une dimension comprise entre 2 et 3. Ainsi, son nombre de dimensions est nécessairement un chiffre qui n’est pas un entier.

Donc, si vous voulez piéger quelqu’un avec une colle, demandez-lui combien de dimensions possède une éponge. Bien entendu, tout dépend de la structure des cavités de l’éponge. Par exemple, il existe un type d’éponge mathématiquement créé qu’on appelle une éponge de Menger dont son nombre de dimensions est de 2,7268, soit environ 3/4, plus grand que 2, mais plus petit que 3. Ce principe des dimensions fractionnaires fonctionne avec n’importe quel nombre de dimensions de base.

À partir du moment où le principe des dimensions fractionnaires est compris, tout ce que la nature nous montre n’est plus jamais regardé avec les mêmes yeux qu’ils soient éclairs, montagnes, arbres, rivages et, bien sûr, une meule de gruyère.

photo : lbc9.net

4 commentaires sur “Des dimensions étourdissantes

      1. J’aimerais bien reprendre les mathématiques (ayant arrêté très jeune, non sans quelques responsabilités de ma part). Votre blog convient aux débutants ?

        Aimé par 1 personne

      2. Je traite de tous les sujets, parfois de sujets comprenant des mathématiques. J’essaye de les rendre les plus accessibles possibles, ce qui n’est pas toujours aisé, malgré tout, de tout saisir et je m’en excuse. Vous pouvez poser vos questions et j’essayerai d’y répondre au mieux de mes compétences.

        Aimé par 1 personne

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