Savoirs anciens — Une base parfaitement carrée

Cet article reprend les notions présentées dans celui d’hier en rapport avec le triangle rectangle de proportions 3-4-5, mais sa lecture n’est pas requise pour comprendre la suite.

Me voici donc à Gizeh sur un haut plateau dominant les constructions environnantes. Mon client, un certain dénommé Khoufou, pharaon de profession, m’a commandé la construction d’un énorme bâtiment de forme pyramidale devant présenter des dimensions parfaites. Sa base doit donc posséder quatre côtés rigoureusement identiques, mais également quatre angles identiques qu’on appelle «droits». De fait, 4 côtés identiques ne suffisent pas à définir un carré, un losange étant le contre-exemple.

J’utilise évidemment la coudée royale comme étalon de mesure pour cette pyramide qui fera 440 coudées de chaque côté. Il ne faut pas se le cacher, ce bâtiment surpassera tout ce qui s’est déjà construit, du moins en hauteur. Mais avant de penser à entasser des pierres, imaginons un moyen de tracer sa base, un carré parfait. Je rencontre Pharaon pour discuter de cette première tâche qui s’avère cruciale pour tout le reste à suivre, évidemment.

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— LeCorbot, donnez-moi la liste du matériel et le nombre de travailleurs dont vous aurez besoin pour parachever cette première tâche. Je veux également savoir quand vous aurez terminé de tracer ce carré selon les sévères exigences qui vous ont été transmises.

Je lui tends un bout de papier qui le fait largement sourciller.

— LeCorbot, vous me prenez pour un pharaon, pour un idiot ou pour un désœuvré?

— Grand Khoufou, je vous jure que cette liste représente tout ce dont j’ai besoin.

— Une longue cordelette que vous mesurerez vous-même, six petits piquets de bois, quelques bouts de ficelle, un maillet et une coudée royale étalon. Avec ceci, vous prétendez pouvoir tracer la base parfaite de mon pharaonique bâtiment dont je n’ai pas encore défini son usage final!

— C’est exact, votre Grandeur et future bienveillante asséchée Momie.

— Je ne vous donnerai pas jusqu’à la prochaine crue pour terminer ce premier travail!

— Ce ne sera pas nécessaire. Laissez-moi jusqu’au zénith, ce sera amplement suffisant, oh Grand Escogriffe!

— Jamais entendu ce compliment avant aujourd’hui. Grand Escogriffe, ça me donne un air royal et léonin, j’aime bien. Vous me plaisez, cher noir volatile! Combien de travailleurs désirez-vous?

— Aucun, sérénissime et majestueux Barbichu! Je préfère travailler seul.

— Vous êtes certainement fou, mais puisque je ne perdrai que quelques heures, soit. Cependant, si vous me décevez, vous dormirez ce soir dans la fosse aux lions.

— Je n’oserais jamais faire planter les royales dentitions félines dans mes impropres chairs. Cet honneur représenterait une bien trop fabuleuse récompense pour un simple architecte. Trouvez autre chose à donner à vos lions. N’ayez de doute, j’utilise une technique très économique, mais des plus performantes.

— Je ne crois personne et encore moins un rusé Corbot! J’irai inspecter votre travail juste après le zénith. Mes lions m’accompagneront, question de leur faire flairer leur prochain repas.

— Je garde toute ma confiance en mes moyens, votre Macronissime Altesse. Aux environs de midi, je prendrai une bouchée en vous attendant. Y a-t-il un Subway dans les parages?

— Un quoi?

— Bah! Laissez tomber. Trouver un sous-marin dans un désert, c’est pas de la tarte! Je me contenterai de la bouffe locale, tiens, pourquoi pas une tarte? Pourvu qu’il y ait de la bière fraiche! Il fait une de ces chaleurs!

— Bien entendu nous avons de la bière! Nous sommes un peuple civilisé même si nous vivons dans un carré de sable! Nous ne sommes pas de buveurs de jus de chaussettes fabriqués avec de vulgaires raisins!

*****

La technique

La description suivante prouvera que tracer la base de la pyramide de Khéops est pour moi un jeu d’enfant comme le laisse entendre la petite liste de matériel remise au promoteur. Tout ce dont j’ai besoin, en plus de ce matériel plus que rudimentaire, est de connaitre le fameux théorème de Pythagore et surtout son célèbre triangle de dimensions 3-4-5 avec lequel je créerai une équerre géante d’excellente qualité qui me servira à déterminer les quatre coins (O, A, B, C) du futur bâtiment. Pourquoi ce triangle en particulier? Il possède la fabuleuse propriété de n’avoir que des nombres entiers presque semblables qui me permettront de diviser facilement et très précisément la longueur totale de la corde.

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Étape préparatoire

Je dois tracer la base de la pyramide de Khéops, un carré parfait de 440 coudées de côté selon le décret du Pharaon. Ce nombre n’est pas anodin comme nous le verrons maintenant. Je prends une très longue cordelette. Je mesure une longueur du triple de la dimension décrétée, soit 1320 coudées. Je la plie en 3 et je noue un bout de ficelle aux deux coudes de la corde qui donnent, sans devoir les mesurer, les distances 440 coudées correspondant au repère 1, et 880 coudées pour désigner le repère 3, les deux mesures étant prises à partir de la même extrémité de la corde. Je plie ensuite la même corde en 4 pour trouver la longueur 330 coudées à partie de sa seconde extrémité jusqu’au premier coude de la corde pliée. Je lui fais correspondre le repère 2 que j’indique avec un autre bout de ficelle noué à cet endroit précis.

Remarque: La mesure initiale de la corde à 1320 coudées a été produite avec la coudée royale étalon fournie par Khoufou. Ce travail multiplie l’erreur et la valeur précise de 440 coudées s’en trouve ainsi affectée. Il existe un moyen de donner à la corde une plus grande précision par une technique que je présentai dans un autre article et qui comporte en plus une surprise de taille.

Étape bleue

Je dispose la corde au sol, je relie ensemble ses 2 extrémités, je plante un premier piquet à cet endroit et sa position détermine le coin O de la pyramide. Je tire la corde en direction nord correspondant à l’alignement d’un premier côté de la pyramide, et ce jusqu’au repère 1 situé à 440 coudées sur la corde. Je plante un piquet juste à cet endroit, voilà donc le coin A, le deuxième de la pyramide.

Remarque: Si vous désirez savoir comment je suis parvenu à trouver le nord exact avec des moyens primitifs, je vous en ferai part dans un autre article.

Pour trouver les deux autres coins, les choses deviennent un peu plus subtiles. Je tire ensuite la corde pour la tendre en direction est, celle correspondant au deuxième côté, vers le coin B. Inutile de chercher à calculer un angle droit, celui-ci se créera de lui-même. Lorsque j’atteins le repère 3 sur la corde, je plante un piquet à cet endroit en m’assurant que la corde soit parfaitement bien tendue, c’est le point M. Cependant, ce piquet n’indique pas un coin de la pyramide, mais seulement une direction avec le coin O situé aux trois quarts de la position du troisième coin. Par contre, je viens de tracer un angle droit parfait avec le côté 1 de la pyramide valant exactement 440 coudées tel que requis. J’ai déjà déterminé deux coins sur quatre, un côté sur quatre et un angle droit sur quatre. Le travail progresse rapidement et midi est encore loin. Les lions auront droit à du mouton ce soir.

Étape rouge

J’intervertis simplement les deux segments de corde en conservant le même alignement pour les deux côtés à 90 degrés. Je plante un piquet vers le Nord, cette fois, exactement au repère 2 de 330 coudées, c’est le point N. J’aligne le repère 1 valant 440 coudées en direction de la ligne formée du coin O et du point M. Je tends bien la corde. Le repère 1 sur celle-ci indique que je viens de trouver le coin B de la pyramide, le troisième. J’y plante un autre piquet et le côté 2 du futur bâtiment est maintenant tracé. Bilan provisoire: 3 coins sur 4, 2 côtés sur 4 et 1 angle de 90° sur 4.

Étape verte

Je déplace le repère zéro de la corde pour le mettre au coin A. Je place le repère 2 de la corde situé à 880 coudées au piquet placé au coin B. Je tire bien la corde en direction du coin C dont j’ignore encore sa position exacte, mais ce n’est pas grave, la corde tendue et le repère 1 me le révèleront. Je plante un piquet précisément à ce repère. Voilà la quatrième extrémité de la pyramide, le coin C, ainsi que le traçage des côtés 3 et 4 de la base de ce futur fabuleux monument. Les trois autres angles droits ont également été directement obtenus en plantant ce dernier piquet. Je rallonge ensuite la corde jusqu’à une valeur de 1760 coudées, je trace ensuite le périmètre complet du carré parfait en joignant les 4 piquets O, A, B et C. Le travail est terminé.

Notez que je n’ai jamais eu besoin de recourir à la diagonale du carré pour créer ce dernier. Heureusement, car sa longueur précise est un nombre irrationnel et il est bien difficile dans ces temps anciens de la déterminer à partir de la longueur d’un des côtés et d’une corde pliée. Cependant, en bon architecte, je m’octroie une dernière étape, celle de la preuve de l’exactitude de mon carré que j’utiliserai pour démontrer la qualité de mon travail au Pharaon.

Étape orange

Tout d’abord, je m’assure de la même longueur des 4 côtés de la pyramide en utilisant l’origine de la corde et le même repère 1 pour chaque côté. Une fois ce test réussi, je peux maintenant procéder à l’équerrage des 4 angles grâce aux diagonales du carré.

Je me fous d’ignorer la longueur des deux diagonales, car je peux facilement tester leur similitude en comparant simplement leur longueur. Si les deux diagonales diffèrent le moindrement, les 4 angles ne sont pas tous à 90°, nul besoin de mesurer ces angles pour le prouver.

En obtenant des diagonales rigoureusement identiques, je prouve l’exactitude de la forme carrée du périmètre sans jamais utiliser la valeur de leur longueur qui peut rester totalement inconnue. En bonus, je trouve le centre exact de la pyramide, le point X situé à l’intersection des deux lignes.

Épilogue

En l’espace de quelques instants et sans aucun calcul, à l’aide d’une simple corde et de quelques piquets, je viens de tracer la base parfaitement carrée de la plus formidable pyramide de tous les temps. De plus, point très important, peu importe la longueur exacte de la corde utilisée au départ, cette technique assure le traçage d’un carré aux côtés rigoureusement identiques et aux angles exactement de 90° sans recourir à aucun extraterrestre… du moins, pour cette première étape.

Par contre, je viens de déboulonner le mythe attribuant à Pythagore le principe du triangle rectangle 3-4-5. Il est certainement possible que les Anciens utilisaient ces proportions sans avoir prouvé son exactitude comme l’a fait Pythagore bien plus tard. Ils avaient probablement constaté les rapports proportionnels entiers 3-4-5 de manière empirique et cela suffisait amplement pour garantir la qualité de leurs constructions.

La pyramide de Khéops mesure effectivement 440 coudées royales de côté. Ce chiffre permet d’obtenir des longueurs du triangle 3-4-5 de 330, 440 et 550 coudées en les multipliant par 110, faisant en sorte qu’aucune mesure de fractions de coudées n’est requise nulle part. Hasard? J’en doute.

La technique présentée dans cet article est bien plus précise que celle constamment utilisée par des poseurs de pavés qui tirent deux ficelles et ajustent l’angle droit avec une toute petite équerre placée à l’intersection des cordes. Leur imprécision rendrait hilare n’importe quelle momie pharaonique m’ayant vu à l’œuvre.

Pharaon fut satisfait du travail accompli grâce aux preuves que je lui ai apportées. Il a donné son assentiment royal puisqu’il avait parfaitement compris ma méthode en regard de sa très grande simplicité. Elle s’avérait si évidente que Khoufou n’a même pas pris la peine de la noter. D’après lui, «n’importe quel enfant de cinq ans saurait la reproduire». 4500 ans plus tard, il semblerait que nous ayons une pénurie d’enfants de cinq ans puisque nous nous extasions sur ce puéril exploit en lui attribuant des origines des plus mystérieuses.

4 commentaires sur “Savoirs anciens — Une base parfaitement carrée

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