Savoirs anciens, 60

Dans ma série d’articles sur les savoirs anciens, je me permets une brève incursion du côté arithmétique pour parler du nombre 60. Cela peut paraitre étonnant que ce nombre soit si présent dans notre quotidien, et ce depuis des temps immémoriaux.

La valeur 60 a envahi la vie d’homo sapiens dans un passé lointain. Attestée chez les Sumériens voilà plus de 5000 ans, les Babyloniens l’ont ensuite adoptée. On le retrouve plus tard dans les calendriers hindou et chinois. Par la suite, les Grecs, les Indiens, les Arabes, les Égyptiens et les Européens ont tous adopté cette base de calcul pour mesurer le temps et les angles.

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Un cercle est divisé en 360 degrés (6 x 60), chaque degré en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes. Une journée est divisée en 24 heures (4 x 6), chaque heure en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes.

On voit que la base 60 n’était pas globalement utilisée comme notre base 10 actuelle. 24 (heures) ne divise pas 60, mais cela s’explique. On doit en fait considérer la base 60 comme étant la multiplication de deux bases. D’une part, les facteurs 5 et 12 donnent 60, de même que les valeurs 6 et 10. Ces deux multiplications correspondent à deux moyens de facilement compter jusqu’à 60 à l’aide de nos deux mains.

Oui, nos ancêtres apprenaient à compter sur leurs doigts jusqu’à 60 et pas seulement jusqu’à 10 comme nous ! Comme quoi l’avancement des connaissances se permet parfois de reculer. Certains peuples actuels continuent toujours de compter de la sorte, reliquat d’une culture multimillénaire. La plus utilisée est la technique des phalanges. Excluant le pouce qui sert de marqueur, les 4 autres doigts d’une même main contiennent 3 phalanges chacune pour un total de 12. Le bout du pouce désigne à la suite les 3 phalanges de l’auriculaire, de l’annulaire, du majeur et de l’index pour un compte de 12. La deuxième main lève alors 1 doigt pour désigner qu’on a atteint 1 fois ce compte. En recommençant ce processus jusqu’à ce que les 5 doigts de la seconde main soient tous levés, on a atteint le compte de 60. On a donc 60 en ayant multiplié 5 fois le nombre 12.

Toujours pour compter 60 à l’aide de deux mains, il existe une deuxième technique qui multiplie 10 fois le chiffre 6. La main droite compte en levant 1 doigt à la fois. Une fois les 5 doigts levés, on lève 1 doigt de la main gauche pour un total de 6 levés de doigts. Lorsque la main gauche est pleine, on a atteint le compte de 30. En inversant le rôle des deux mains et en recommençant le processus précédent, on parvient à obtenir la valeur 60.

Diviser la demi-journée en 12 heures, celles pouvant s’afficher sur un cadran solaire, ne constituait donc pas un choix aléatoire. Les anciens ont donc obtenu une journée complète totalisant 24 heures. Une fois l’heure définie, ils l’ont subdivisé en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes.

Les 360 degrés d’un cercle peuvent paraitre plus mystérieux. On n’obtient pas des quadrants de 60 degrés mais 90. Diviser un cercle en 6 portions de 60 degrés peut paraitre géométriquement illogique. Et pourtant, une raison précise pourrait se terrer sous cette étrange division. J’en réfère à mon article sur un autre savoir ancien où j’inscris un hexagone dans un cercle. En reliant le centre du cercle à chaque sommet de l’hexagone, on obtient bien 6 angles de 60 degrés. Et pourquoi choisir d’inscrire un hexagone plutôt que toute autre figure géométrique ? Parce que chacun de ses côtés mesure précisément la valeur du rayon du cercle. Ainsi, l’hexagone et le cercle ont une relation intime qui pouvait s’avérer très utile. Ainsi, subdiviser un cercle en 6 portions de 60 degrés parait bien plus sensé qu’à priori. En reprenant pour le degré la subdivision temporelle des 60 minutes et 60 secondes, on obtient la précision des angles désirée.

Roue-Hex-Angles

Et voilà comment la base sexagésimale a marqué nos mesures, celle du temps qui passe ainsi que celle des subdivisions d’un cercle. Notez qu’un mouvement cyclique comme celui d’un bœuf qui tourne autour d’un axe relie les notions de temps et de géométrie. Il est donc normal de retrouver les minutes et les secondes dans les deux notions.

Dernier point non négligeable, les six premiers chiffres divisent 60 et il en possède six autres pour un total de douze facteurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60). Il est donc possible de subdiviser 60 en parts égales de douze façons différentes. Dans un monde où on comptait des valeurs entières, têtes de bétail, œufs, baies, lapins, perdrix, etc., compter par groupes de 60 unités pour ensuite les subdiviser également parmi la communauté constituait un atout de taille.

En définitive, la base sexagésimale (60) ne doit rien aux hasards, mais bien à des considérations pratiques compréhensibles pour chacun des habitants des temps anciens. La valeur 60 désignait peut-être aussi un grand nombre au-delà duquel on devenait riche, l’ancêtre de notre million ou notre milliard. L’humain n’avait pas encore transformé ses avoirs en papier-monnaie qu’il pourrait accumuler sans limites. 60 chèvres l’occupaient suffisamment pour qu’il n’espère pas en posséder bien plus, une façon naturelle d’éviter les abus des systèmes économiques. Oui, lorsqu’on doit travailler fort pour conserver son dû, on manque de temps pour en rajouter. Pourrait-on se servir de cette leçon de l’histoire pour revoir le prochain système économique lorsque l’actuel collapsera ? La base 60 reprendra peut-être du service au-delà de la mesure du temps et des angles.

Malheureux de naitre avec dix doigts

Si j’écris 10, et que je vous dis que ce n’est pas un dix, vous me prendriez pour un illuminé. À l’instar de la pipe de Magritte dans son célèbre tableau « La trahison des images » qui n’est pas une pipe, mais la représentation d’une pipe, 10 n’est pas un dix, mais une représentation de plusieurs nombres possibles dont l’une est un dix.

J’étais en sixième année du primaire lorsqu’on m’a enseigné pour la première fois le principe mathématique des bases. Nous partions de la prémisse que nous rencontrions des extraterrestres à huit doigts et qu’ainsi, eux ne comptaient pas dix symboles différents pour écrire les nombres, mais seulement huit en incluant le zéro. Donc, au-delà de sept, il fallait comprendre que nous devions travailler à deux chiffres, comme lorsqu’on arrive au-delà de neuf dans le système décimal. En écrivant 10 (lire un, zéro), ça ne valait plus dix, mais bien huit. Et on poursuivait sur cette lancée, 11 (lire un, un) valait neuf, 12 (lire un, deux) valait dix, etc. En changeant de la base 10 à la base 8, on réapprenait comment on écrit symboliquement les nombres. J’étais loin de me douter que je retrouverais cette base 8 bien plus tard en informatique et que 10 (lire un, zéro) serait effectivement la représentation octonumérique du nombre huit.

L’humain est né désavantagé. Il a été conçu avec dix doigts plutôt que huit. Ainsi, la base décimale (base 10) est devenue sa principale façon de compter. Nous utilisons dix chiffres différents, dix symboles distincts en commençant par le 0 jusqu’au 9. Pour compter au-delà de neuf, on doit utiliser deux symboles dont la position de chacun par rapport à l’autre définit une valeur différente. On sait tous que l’écriture décimale du nombre dix s’écrit 10. Le 1 ne vaut plus un, mais dix, et le 0 signifie qu’on additionne zéro à dix. Et une fois ce concept compris et maitrisé, nous sommes en mesure d’écrire n’importe quelle valeur numérique à partir de seulement dix symboles différents.

Si l’humain était né avec huit doigts, il aurait été avantagé au moment de traiter l’information sous forme binaire, car huit est une puissance du chiffre deux, deux étant la quantité maximale de symboles différents utilisés dans un compte binaire que traite un ordinateur conventionnel, soit le zéro et le un.

Si nous avions eu seulement huit doigts, symboliquement, 10 vaudrait huit plutôt que dix. Ainsi, le système octal à huit symboles ou le système hexadécimal à seize symboles utilisés en électronique de l’information nous auraient posé moins de problèmes de compréhension puisque huit et seize sont tous deux des puissances de deux. 2 x 2 x 2 = huit et 2 x 2 x 2 x 2 = seize, mais dix n’est pas une puissance de deux.

Ainsi 10 (un un suivi d’un zéro) vaut deux en binaire (base deux), vaut huit en octal (base huit), vaut seize en hexadécimal (base seize) et il vaut dix lorsque les créatures naissent malheureusement avec dix doigts.

Compter jusqu’à trois.

Ou comment a commencé la quête de la complexité mathématique

Trois, three, tres, tre, três, trei, Drei, drie, voici huit façons différentes d’écrire le nombre trois en huit langues: français, anglais, espagnol, italien, portugais, roumain, allemand et néerlandais.

Une caractéristique saute immédiatement aux yeux et aux oreilles. Les sons très similaires «tʀ» ou «dʀ» se retrouvent au début de tous les chiffres 3. Le langage est un formidable véhicule de la culture. Certains éléments culturels persistent aisément durant des dizaines de millénaires et le mot «trois» est l’un d’eux.

C’est plutôt facile à comprendre, croirait-on. Il a dû exister un mot commun à toutes ces langues avant qu’elles ne divergent. C’est probablement exact puisque aujourd’hui, la linguistique considère que toutes les langues ont eu un même ancêtre, probablement remontant aux environs de 75000 ans. Lire l’article Adam, Ève et un certain Toba.

La langue parlée à cette époque devait nécessairement utiliser l’un des phonèmes, soit «tʀ», soit «dʀ» ou peut-être même simplement «ʀ» pour désigner le chiffre 3, mais il y a plus.

À l’époque où la communauté humaine vivait sans aucune mathématique, les sons utilisés devaient être indicatifs plutôt que formels. Ainsi, le son roulé «ʀ» précédé d’une consonne dentale «t» ou «d» devait avoir un certain sens pratique même s’il ne signifiait pas précisément le chiffre 3.

On suppose qu’à cette époque, l’humain ne comptait pas vraiment dans le sens qu’on donne aujourd’hui à ce mot. On n’a aucunement besoin de savoir compter pour séparer équitablement des fruits cueillis d’un arbre. On distribue une unité à chacun à tour de rôle jusqu’à épuisement des stocks. Évidemment, on commence la distribution par le chef. Ainsi, sans jamais savoir compter, chaque membre du clan ou de la tribu se voyait remettre sa juste part.

Ce lointain ancêtre comprenait par contre le sens d’être seul. Ainsi, le nombre 1 signifiait quelque chose de bien concret. Le nombre 2 devait également avoir droit à une réalité compréhensible. Quand «un» n’était plus seul, il avait de la compagnie, que ce fût pour partir à la chasse ou pour utiliser une section de la grotte pour faire des trucs louches avec une nana. Lorsque «un» n’est plus «unique», il fait «deux» avec un autre. Mais après 2, les chiffres commençaient à ne plus avoir de sens strict puisqu’on ne comptait pas. Après 2, il y avait quoi? Il y en avait plus, il y en avait beaucoup, il y en avait trop, très, trois. Ainsi, le son «tʀ» ou «dʀ» devait représenter non pas un nombre précis, mais simplement un état signifiant «au-delà de 2» ou «plusieurs».

Lorsque nos ancêtres ont ensuite eu besoin de créer une suite de nombres entiers pour distinguer 3 de 4, etc., par exemple pour compter des têtes de bétail, très, trop, trois est devenu le nombre bien réel qui suivait le 2 et pas seulement quelque chose signifiant «plus de 2».

Ainsi, le dicton «deux c’est un couple, trois c’est une foule» était parfaitement exact, puisque c’était le sens qu’on donnait à «trois» dans la préhistoire. C’est tout de même étrange de savoir que le tout petit nombre 3 créait une frontière conceptuelle difficile à outrepasser. Une frontière qui, lorsque nos aïeux l’ont franchie, ouvrit toutes grandes les portes du savoir par les mathématiques. Cette frontière ne cesse d’être repoussée et encore aujourd’hui, nos connaissances mathématiques s’enrichissent de nouveaux théorèmes toujours plus complexes. La quête du «trois» à partir du «très» s’est révélée une étape cruciale. Un tout petit pas, en apparence parfaitement anodin, occasionnera les plus grands bouleversements si l’on se donne la peine de pousser le concept tout juste un peu plus loin, mais ce, sans relâche, gravissant un à un les échelons menant à l’hyper complexité.